Man kan som bekant inte jämföra äpplen med päron, såvida man inte jämför dem efter en gemensam skala, t ex deras vikt. Ju mer vi lär oss hur saker och ting hänger ihop, ju fler saker kan vi faktiskt jämföra efter en gemensam skala. Som en första idealisering av det sunda förnuftet skall vi anta att allt kan bedömas efter sin rimlighetsgrad och därmed jämföras med avseende på rimlighet.

De associativa och kommutativa reglerna i Booleansk algebra leder emellertid till att om vi vill kunna göra jämförelser av typen "hur rimligt är A givet C" i förhållande till "B givet C" så måste vi kunna åsätta förhållandet ett numeriskt värde, annars blir sådana jämförelser i förlängningen motsägande.

Vi vill också kunna ange rimlighetsgraden på en kontinuerlig skala så att bara en anings högre grad av rimlighet hos ett påstående inte ger mer än en anings större sannolikhet för att påståendet skulle vara sant.

Sammantaget leder dessa första idealiseringar fram till att vi inte bara kan använda Booleansk algebra utan även hela den matematiska analysen i vår utvidgade logik.

1. Om det är så att när A är sannt så är B sannt, så kan man av att A är sannt sluta sig till att B är sannt.

kan vi i vårt vidgade perspektiv uttrycka så att
sannolikheten för att B är sannt givet A gränsar till 1 givet summan av alla våra erfarenheter C.

Den andra slutledningsregeln i deduktiv logik:

2. Om det är så att när A är sannt så är B sannt, så kan man av att B är osannt sluta sig till att A är osannt.

kan vi på motsvarande sätt uttrycka så att
sannolikheten för att A är sannt givet icke-B gränsar till 0 givet summan av alla våra erfarenheter C.

Dessa gränsfall, där något antingen är helt rimligt eller fullständigt orimligt, härör från något som kallas produkt- och summareglerna, som i sin tur leder till Bayes teorem, som är det mest kraftfulla verktyget för den normativa logiken i den meningen att det uttömmande säger vilka sannolikheter man bör räkna med givet viss information.

Bayes teorem, som bland annat garanterar att alla rationella sätt att nå en slutledning på ger samma resultat (vilket inte hindrar rationella konflikter beroende på olika utgångspunkter!) återkommer vi till i nästa artikel i serien.

1. En idealiserad modell måste ta med alla tidigare erfarenheter som är relevanta för ett nytt problem, och inte av ideologiska eller andra skäl bortse från viss erfarenhet.

2. Samma kunskap måste i alla situationer tillmätas samma sannolikhet, dvs en rationellt handlande enhet måste i sina relationer till omvärlden bete sig konsekvent.

Slutligen kan vi inte undanhålla våra läsare att Gödels teorem - att inget formellt system kan garantera sin egen motsägelsefrihet, eftersom det är ett elementärt logiskt faktum att A och icke-A samtidigt implicerar alla påståenden, sanna som falska och att varje implikation i ett formellt system kan härledas från ett formellt system som härbärgerar motsägelser och därför kan ingen implikation bevisa att systemet är motsägelsefritt - inte gäller sannolikhetsläran som utvidgad logik.

Sannolikheter kan inte härledas från motsägelsefulla premisser. En dator programmerad med vårt idealiserade sunda förnuft skulle, om sådana funnes, hänga sig!