Om vi har en hypotes och har samlat in data (D) för att undersöka hypotesens giltighet så behöver vi inte bara bedöma sannolikheten (p) för dessa data med avseende på hypotesen (H) och annan förhandenvarande erfarenhet (I), utan också bedöma sannolikheten för dessa data enbart med avseende på denna andra förhandenvarande erfarenhet, samt bedöma sannolikheten för hypotesen enbart med avseende på denna andra förhandenvarande erfarenhet.

Kvoten av de två första leden i beräkningarna kallas hypotesens "rimlighet" (likelihood). I Bayes teorem fås sannolikheten för att en hypotes är sann givet data och annan förhandenvarande erfarenhet ( något som kallas dess "posterior", som betyder ungefär det som kommer efter i logisk mening inte nödvändigtvis temporärt eller kausalt! ) genom att multiplicera "rimligheten" med sannolikheten för att hypotesen är sann enbart med avseende på annan erfarenhet enligt det tredje ledet i beräkningarna ovan (denna sannolikhet kallas "prior", som betyder ungefär det som kommer före i logisk mening inte nödvändigtvis temporärt eller kausalt! ).

Bayes teorem i formell notation

Hur man delar upp all förhandenvarande erfarenhet mellan data och annan erfarenhet är egentligen oviktigt eftersom beräkningarna ändå, enligt våra grundanspråk på rationalitet, skall leda till samma resultat.

Det blir mest en fråga om att hitta en uppdelning där vi kan utföra beräkningarna. Att göra rationella slutledningar blir därmed en kreativ aktivitet i utgångsläget. Det är t ex viktigt att hitta en hypotes ( ur mängden av alla tänkbara ) som är rimlig och kan testas och beräknas!

Detta är emellertid styrkan hos Bayesiansk slutledningsteori, vilket i praktiken förvandlar den till en kunskapsteori. Vi återkommer till detta i senare artiklar. Vi vill i den här artikeln bara ge ett belysande exempel.

För några år sedan diskuterades problemet med bilen och getterna livligt i en del tidskrifter.

Vid en TV-tävling fick den tävlande chansen att vinna en bil om han/hon kunde välja rätt dörr bland tre. Bakom en dörr fanns en bil och bakom de två övriga stod en get. Oavsett vilken dörr den tävlande pekade på så valde tävlingsledaren att öppna en av de två andra - och där stod en get! Han erbjöd därefter den tävlande att hålla fast vid sitt ursprungliga val eller byta dörr och peka på den andra av de två ännu ej öppnade dörrarna. Problemet är: kan den tävlande öka sin chans att vinna bilen genom att byta dörr?

Med en relativt enkel tillämpning av Bayes teorem kan man visa att det beror på hur den tävlande subjektivt uppfattar situationen!

Om den tävlande uppfattar programledarens strategi så att han alltid öppnar en getdörr för att kunna öka spänningen i tävlingen genom att ge den tävlande erbjudandet så ökar han/hon sin chans till bilen genom att byta dörr.

Om den tävlande tror att programledaren är en elak typ som bara erbjuder den tävlande bytet om han/hon valt vinstdörren så förlorar naturligtvis han/hon sin chans till bilen genom att byta dörr.

Om den tävlande tror att programledaren är en snäll typ som bara erbjuder den tävlande bytet om han/hon valt en getdörr så vinner han/hon naturligtvis bilen genom att byta dörr.

Om den tävlande tror att programledaren är berusad och slumpmässigt öppnar en av de kvarvarande dörrarna oavsett om där finns en bil eller get bakom och det därför bara råkade vara en get bakom den öppnade dörren så spelar det ingen roll om han/hon byter dörr eftersom chansen att det står en bil bakom den slutligt valda dörren förblir densamma.

Detta belyser på ett kristallklart sätt vilken objektiv betydelse den subjektiva uppfattningen av situationen har för olika utfalls sannolikhet.